Makalah : Basis dan Dimensi

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Misalkan V ruang vektor dan S={s₁, s₂, ...., s_n}. S disebut basis dari V bila memenuhi dua syarat, yaitu:

1.    S bebas linier

2.    S membangun V

Basis dari suatu ruang vektor tidak harus tunggal tetapi bisa lebih dari satu. Ada dua macam basis yang kita kenal yaitu basis standar dan basis tidak standar.

B. Rumusan Masalah

Pada pembahasan ini penulis akan menjelaskan apa yang dimaksud dengan basis dan dimensi.

BAB II

PEMBAHASAN

BASIS DAN DIMENSI

Basis : suatu ukuran tertentu yang menyatakan  komponen dari sebuah vector. Dimensi biasanya dihubungkan dengan ruang, misalnya garis adalah ruang dengan dimensi 1, bidang adalah uang dengan dimensi 2 dan seterusnya. Definisi basis secara umum adalah sebagai berikut :

Jika V adalah ruang vektor dan S = {v₁, v₂, v₃, ….., v_n} adalah kumpulan vektor di dalam V, maka S disebut sebagai basis dari ruang vektor V jika 2 syarat berikut ini dipenuhi :

        i.            S bebas linier;

      ii.            S serentang V.

Contoh 1

Misalkan e₁ = ( 1, 0, 0, … , 0 ), e₂ = ( 0, 1, 0, … , 0 ), … , e_n = ( 0, 0, 0, … , 1 ). Dalam contoh pada pembahasan kebebasan linier, kita telah menunjukkan bahwa S = { e₁, e₂, … , e_n } adalah himpunan bebas linier dengan Rⁿ. Karena setiap vector v = (v₁, v₂, … , v_n) pada Rⁿ dapat dituliskan sebagai v = v₁e₁ +  v₂e₂ + … + v_ne_n, maka S merentang Rⁿ sehingga S  adalah sebuah basis. Basis tersebut dinamakan basis baku untuk Rⁿ.

Contoh 2

Misalkan v₁ = ( 1, 2, 1 ), v₂ = ( 2, 9, 0 ), dan v₃ = ( 3, 3, 4). Perlihatkan bahwa himpunan S = { v₁, v₂, v₃ } adalah basis untuk R³.

Pemecahan. Untuk memperlihatkan bahwa S serentang R³, maka kita harus perlihatkan bahwa sembarang vector b = ( b₁, b₂, b₃ ) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier

b = k₁v₁ + k₂v₂ + k₃v₃

dari vector – vector pada S. dengan menyatakan persamaan ini dalam komponen-komponennya maka akan memberikan

( b₁, b₂, b₃ ) = k₁ ( 1, 2, 1 ) + k₂ ( 2, 9, 0 ) + k₃ ( 3, 3, 4 )

atau

( b₁, b₂, b₃ ) = ( k₁ + 2k₂ + 3k₃, 2k₁ + 9k₂ + 3k₃, k₁ + 4k₃ )

atau

k₁ + 2k₂ + 3k₃               = b₁

2k₁ + 9k₂ + 3k₃             = b₂

k₁            + 4k₃             = b₃                                               (1.1)

Jadi, untuk memperlihatkan bahwa S merentang V, maka kita harus perlihatkan bahwa system (1.1) mempunyai pemecahan semua pilihan b = (b₁, b₂, b₃ ). Untuk membuktikan bahwa S bebas linier, kita harus perlihatkan bahwa satu – satunya pemecahan dari

k₁v₁ + k₂v₂ + k₃v₃ = 0                                                   (1.2)

adalah k₁ = k₂ = k₃ = 0

seperti sebelumnya, jika (1.2) dinyatakan dalam komponen – komponennya, maka pembuktian bebas linier akan direduksi menjadi pembuktian bahwa system tersebut  homogen

k₁ + 2k₂ + 3k₃               = 0

2k₁ + 9k₂ + 3k₃             = 0

k₁            + 4k₃             = 0                                           (1.3)

hanya mempunyai pemecahan trivial. Perhatikan bahwa system (1.1) dan system (1.3) mempunyai matriks koefisien yang sama. Jadi, menurut bagian – bagian (a), (b), (d) dari Teorema 15 pada bagian  Hasil Selanjutnya Mengenai Sistem Persamaan dan Keterbalikan, kita dapat secara serentak membuktikan bahwa S bebas linier dan merentang R³ dengan memperlihatakan bahwa matriks koefisien

Pada system (1.1) dan system (1.3) dapat dibalik. Karena

maka jelaslah dari Teorema 7 pada bagian Sifat-Sifat Fungsi Determinan bahwa A dapat dibalik. Jadi, S adalah sebuah basis untuk R³.

Contoh 3

Himpunan S = { 1, x, x2, … , xn } merupakan basis untuk ruang vector Pn yang diperkenalkan dalam contoh 13 pada bagian Subruang. Dari contoh 18, vector – vector pada S merentang Pn. Untuk melihat bahwa S bebas linier, anggaplah bahwa suatu kombinasi linier dari vector – vector S adalah vector nol, yakni

c₀ + c₁x + … + c_nxⁿ = 0 (untuk semua x)                                              (1.4)

Kita harus perlihatkan bahwa c₀ = c₁ = … = c_n = 0. Dari aljabar kita ketahui bahwa polinom taknol berderajat n mempunyai paling banyak n akar yang berbeda. Karena (1.4) memenuhi untuk semua x, maka setiap nilai x adalah sebuah akar dari ruas kiri, hal ini berarti bahwa c₁ = c₂ = … = c_n = 0; kalau tidak, maka c₀ + c₁x + … c_nxⁿ dapat mempunyai paling banyak n akar. Maka himpunan S adalah himpunan bebas linier.

Basis S dalam contoh ini dinamakan basis baku untuk Pⁿ.

Contoh 3

Andaikan ruang V= {u, v, w, s}, di mana:

. Cari basis dan dimensi dari ruang V!

Solusi : (Menggunakan matriks)

Basis dari V={(-1, 1 , 1), (0, -1, 3)}

Dimensi V = 2

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Setiap sistem pembentuk yang bebas linear adalah basis dari suatu ruang vektor. Setiap himpunan u u1, u , u2, …, u , un} yang } p p { {11, 2, , n} y g

bebas linear adalah basis dari ruang vektor berdimensi n.

Basis : suatu ukuran tertentu yang menyatakan  komponen dari sebuah vector. Dimensi biasanya dihubungkan dengan ruang, misalnya garis adalah ruang dengan dimensi 1, bidang adalah uang dengan dimensi 2 dan seterusnya. Definisi basis secara umum adalah sebagai berikut :

Jika V adalah ruang vektor dan S = {v₁, v₂, v₃, ….., v_n} adalah kumpulan vektor di dalam V, maka S disebut sebagai basis dari ruang vektor V jika 2 syarat berikut ini dipenuhi :

1.      S bebas linier;

2.      S serentang V.

B. Saran

Demikian yang dapat penulis paparkan mengenai materi yang menjadi pokok bahasan dalam makalah ini, tentunya masih banyak kekurangan dan kelemahannya, kerena terbatasnya pengetahuan dan kurangnya rujukan atau referensi yang ada hubungannya dengan judul makalah ini.

Penulis banyak berharap para pembaca yang budiman dapat memberikan kritik dan saran yang membangun kepada penulis demi sempurnanya makalah ini dan penulisan makalah di kesempatan–kesempatan berikutnya. Semoga makalah ini berguna bagi penulis pada khususnya juga para pembaca yang budiman pada umumnya.

Daftar Pustaka

http://downloads.ziddu.com/downloadfiles/6709393/BasisdanDimensi.doc

http://www.google.co.id/url?sa=t&rct=j&q=basis%20dan%20dimensi&source=web&cd=1&ved=0CFcQFjAA&url=http%3A%2F%2Fmastyas.files.wordpress.com%2F2009%2F03%2Fa4_basisdimensi-compatibility-mode1.pdf&ei=TnWlT87jOuSimQW7o7DhBA&usg=AFQjCNG4BYSoy1gXCdG--KYwqf0hzyvBJA&cad=rja

http://www.google.co.id/url?sa=t&rct=j&q=contoh%20basis%20dan%20dimensi&source=web&cd=2&ved=0CE4QFjAB&url=http%3A%2F%2Fwww.tofi.or.id%2Fdownload_file%2FRuang%2520Vektor.ppt&ei=aRXBT9XXL87jrAff_p3PCQ&usg=AFQjCNH7JdLoU1JAaiocqDPJ4Gb7aC16NQ&cad=rja